Question

【題目】設(shè)f（x）=ex（ex﹣ax﹣1）且f（x）≥0恒成立．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）證明：f（x）存在唯一的極大值點(diǎn)x0 ， 且 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=ex（ex﹣ax﹣1）≥0，因?yàn)閑x＞0，所以ex﹣ax﹣1≥0恒成立，

令φ（x）=ex﹣ax﹣1，x∈R，問題等價(jià)φ（x）≥0恒成立，

∴φ'（x）=ex﹣a，

當(dāng)a≤0時(shí)，φ（x）在x∈R單調(diào)遞增，又φ（0）=0當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，φ（x）＜0矛盾，

當(dāng)a＞0時(shí)，φ（x）在（﹣∞，lna）單調(diào)遞減，在（lna，+∞）單調(diào)遞增，

∴φ（x）≥0恒成立，等價(jià)為φ（lna）=elna﹣alna﹣1≥0，即a﹣alna﹣1≥0，

又令g（a）=a﹣alna﹣1，（a＞0），g'（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna，

∴g（a）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，而g（1）=0，

所以不等式a﹣alna﹣1≥0的解為a=1，綜上a=1

（2）證明：f'（x）=ex（2ex﹣x﹣2），令h（x）=2ex﹣x﹣2，h'（x）=2ex﹣1，

所以h（x）在 單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞增 ，

∵ 由零點(diǎn)存在定理及h（x）的單調(diào)性知，方程h（x）=0在 有唯一根，

設(shè)為x0且 ，從而h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x0和0，

所以f（x）在（﹣∞，x0）單調(diào)遞增，在（x0，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增，

從而f（x）存在唯一的極大值點(diǎn)x0即證，

由 得 ，

∴ 取等不成立，所以 得證，

又∵ 在（﹣∞，x0）單調(diào)遞增

所以 得證，

從而且 成立

【解析】（1）由題意不難得出ex﹣ax﹣1≥0恒成立，令φ（x）=ex﹣ax﹣1，x∈R，問題等價(jià)φ（x）≥0恒成立，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到關(guān)于a的不等式，解出即可；（2）令h（x）=2ex﹣x﹣2，根據(jù)h ( 2 ) h ( l n ) < 0 由零點(diǎn)存在定理及h（x）的單調(diào)性知，方程h（x）=0在 ( 2 ， l n ) 有唯一根，設(shè)為x0且 2 e x 0 x 0 2 = 0 ，從而證明結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．