Question

已知函數(shù)f（x）=a^x-1（a＞0且a≠1）
（1）若函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過P（3，4）點，求a的值；
（2）比較大小，并寫出比較過程；
（3）若f（lga）=100，求a的值．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過P（3，4）
∴a^3-1=4，即a²=4．（2分）
又a＞0，所以a=2．（4分）
（2）當a＞1時，；
當0＜a＜1時，．（6分）
因為，，f（-2.1）=a^-3.1
當a＞1時，y=a^x在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，
∵-3＞-3.1，∴a^-3＞a^-3.1．
即．
當0＜a＜1時，y=a^x在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，
∵-3＞-3.1，∴a^-3＜a^-3.1．
即．（8分）
（3）由f（lga）=100知，a^lga-1=100．
所以，lga^lga-1=2（或lga-1=log_a100）．
∴（lga-1）•lga=2．
∴l(xiāng)g²a-lga-2=0，（10分）
∴l(xiāng)ga=-1或lga=2，
所以，或a=100．（12分）
分析：（1）函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過P（3，4）點，可得a^3-1=4，由此求出a；
（2）本題要根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性比較大小，要解決兩個問題一是自變量的大小，由于=-2，故自變量大小易比較，另一問題是函數(shù)的單調性，由于底數(shù)a的取值范圍不確定，需對參數(shù)a的取值范圍進行討論以確定函數(shù)的單調性，在每一類下比較大�。�
（3）由f（lga）=100知，a^lga-1=100，對此類指對結合的不等式不能用常規(guī)解法求解，需要借助相關的公式求解，本題這種類型的一般采取兩邊取對數(shù)的方式將其轉化為一元二次函數(shù)型的方程求解，兩邊取以10為底的對數(shù)可得（lga-1）•lga=2，解此方程先求lga，再求a．
點評：本題考點是指數(shù)函數(shù)單調性的應用，考查了求指數(shù)函數(shù)解析式，利用單調性比較大小，以及解指數(shù)與對數(shù)方程，本題涉及到的基礎知識較多，綜合性較強，在本題中解指數(shù)與對數(shù)方程時用到了兩邊取對數(shù)將指數(shù)方程轉化為一元二次方程求解，這是此類方程求解時專用的一個技巧，要好好總結其運用規(guī)律．