一個如圖所示的不規(guī)則形鐵片,其缺口邊界是口寬4分米,深2分米(頂點(diǎn)至兩端點(diǎn)所在直線的距離)的拋物線形的一部分,現(xiàn)要將其缺口邊界裁剪為等腰梯形.
(1)若保持其缺口寬度不變,求裁剪后梯形缺口面積的最小值;
(2)若保持其缺口深度不變,求裁剪后梯形缺口面積的最小值.
(1)6,(2).
解析試題分析:(1)由題意得:保持其缺口寬度不變,需在A,B點(diǎn)處分別作拋物線的切線. 以拋物線頂點(diǎn)為原點(diǎn),對稱軸為軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則
,從而邊界曲線的方程為
,
.因?yàn)閽佄锞€在點(diǎn)
處的切線斜率
,所以,切線方程為
,與
軸的交點(diǎn)為
.此時梯形的面積
平方分米,即為所求.(2)若保持其缺口深度不變,需使兩腰分別為拋物線的切線. 設(shè)梯形腰所在直線與拋物線切于
時面積最�。藭r,切線方程為
,其與直線
相交于
,與
軸相交于
.此時,梯形的面積
,
.故,當(dāng)
時,面積有最小值為
.
解:(1)以拋物線頂點(diǎn)為原點(diǎn),對稱軸為軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則
,
從而邊界曲線的方程為,
.
因?yàn)閽佄锞€在點(diǎn)處的切線斜率
,
所以,切線方程為,與
軸的交點(diǎn)為
.
此時梯形的面積平方分米,即為所求.
(2)設(shè)梯形腰所在直線與拋物線切于時面積最�。�
此時,切線方程為,
其與直線相交于
,
與軸相交于
.
此時,梯形的面積,
.……11分
(這兒也可以用基本不等式,但是必須交代等號成立的條件)=0,得
,
當(dāng)時,
單調(diào)遞減;
當(dāng)時,
單調(diào)遞增,
故,當(dāng)時,面積有最小值為
.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù) ,
.
(1)當(dāng) 時,求函數(shù)
的最小值;
(2)當(dāng) 時,求證:無論
取何值,直線
均不可能與函數(shù)
相切;
(3)是否存在實(shí)數(shù),對任意的
,且
,有
恒成立,若存在求出
的取值范圍,若不存在,說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù).
(1)若函數(shù)在
上為減函數(shù),求實(shí)數(shù)
的最小值;
(2)若存在,使
成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)的圖像與直線
恰有兩個交點(diǎn),求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某公司經(jīng)銷某種產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的成本為6元,預(yù)計當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為元(
)時,一年的銷售量為
萬件。
(1)求公司一年的利潤y(萬元)與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關(guān)系;
(2)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少時,公司的一年的利潤y最大,求出y最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
根據(jù)統(tǒng)計資料,某工藝品廠的日產(chǎn)量最多不超過20件,每日產(chǎn)品廢品率與日產(chǎn)量
(件)之間近似地滿足關(guān)系式
(日產(chǎn)品廢品率
).已知每生產(chǎn)一件正品可贏利2千元,而生產(chǎn)一件廢品則虧損1千元.(該車間的日利潤
日正品贏利額
日廢品虧損額)
(1)將該車間日利潤(千元)表示為日產(chǎn)量
(件)的函數(shù);
(2)當(dāng)該車間的日產(chǎn)量為多少件時,日利潤最大?最大日利潤是幾千元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)(
)
(1)若在點(diǎn)
處的切線方程為
,求
的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若在
上存在極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)試判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(2)設(shè),求
在
上的最大值;
(3)試證明:對任意,不等式
都成立(其中
是自然對數(shù)的底數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知是
的導(dǎo)函數(shù),
,且函數(shù)
的圖象過點(diǎn)
.
(1)求函數(shù)的表達(dá)式;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.
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