Question

7．已知函數(shù)f（x）=lnx+x²+2ax，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在其定義域上為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)$g（x）=\frac{f（x）}{x+1}-x$在區(qū)間[t，+∞）（t∈N^*）上存在極值，求t的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為$-2a≤\frac{1}{x}+2x$對(duì)x∈（0，+∞）都成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為方程$1+\frac{1}{x}-lnx=0$在[t，+∞）（t∈N^*）上有解，令$φ（x）=1+\frac{1}{x}-lnx$（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出t的最大值即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∵f（x）=lnx+x²+2ax，∴$f'（x）=\frac{1}{x}+2x+2a$．
∵函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f'（x）≥0，即$\frac{1}{x}+2x+2a≥0$對(duì)x∈（0，+∞）都成立．…（2分）
∴$-2a≤\frac{1}{x}+2x$對(duì)x∈（0，+∞）都成立．
當(dāng)x＞0時(shí)，$\frac{1}{x}+2x≥2\sqrt{\frac{1}{x}•2x}=2\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{x}=2x$，即$x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時(shí)，取等號(hào)．
∴$-2a≤2\sqrt{2}$，即$a≥-\sqrt{2}$．∴a的取值范圍為$[{-\sqrt{2}，+∞}）$．…（5分）
（2）當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，$g（x）=\frac{f（x）}{x+1}-x=\frac{{lnx+{x^2}+x}}{x+1}-x=\frac{lnx}{x+1}$.$g'（x）=\frac{{1+\frac{1}{x}-lnx}}{{{{（{x+1}）}^2}}}$．…（6分）
∵函數(shù)g（x）在[t，+∞）（t∈N^*）上存在極值，
∴方程g'（x）=0在[t，+∞）（t∈N^*）上有解，
即方程$1+\frac{1}{x}-lnx=0$在[t，+∞）（t∈N^*）上有解．…（8分）
令$φ（x）=1+\frac{1}{x}-lnx$（x＞0），
由于x＞0，則$φ'（x）=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}＜0$，∴函數(shù)φ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
∵$φ（3）=\frac{4}{3}-ln3=\frac{1}{3}ln$$\frac{e^4}{27}$$＞\frac{1}{3}ln\frac{{{{2.5}^4}}}{27}＞0$，$φ（4）=\frac{5}{4}-ln4=\frac{1}{4}ln$$\frac{e^5}{256}$$＜\frac{1}{4}ln\frac{3^5}{256}＜0$，
∴函數(shù)φ（x）的零點(diǎn)x₀∈（3，4）．
∵方程φ（x）=0在[t，+∞）（t∈N^*）上有解，t∈N^*∴t≤3．
∵t∈N^*，∴t的最大值為3．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．