Question

2．在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．
（1）直線l過M且與曲線C相切，求直線l的極坐標(biāo)方程；
（2）點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于y軸對稱，求曲線C上的點(diǎn)到點(diǎn)N的距離的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線l的方程為y=k（x-2）+2，圓曲線C的普通方程聯(lián)立消元，令判別式等于0求出k，得出直角坐標(biāo)方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程；
（2）求出N到圓心的距離，即可得出最值．

解答 解：（1）M的直角坐標(biāo)為（2，2），曲線C的普通方程為（x-1）²+y²=4．
設(shè)直線l的方程為y=k（x-2）+2，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）+2}\\{（x-1）^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得（1+k²）x²+（4k-4k²-2）x+4k²-8k+1=0，
∵直線l與曲線C相切，∴（4k-4k²-2）²-4（1+k²）（4k²-8k+1）=0，
解得k=0或k=-$\frac{4}{3}$．
∴直線l的方程為y=2或y=-$\frac{4}{3}$（x-2）+2，即4x+3y-14=0，
∴直線l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=2或4ρcosθ+3ρsinθ-14=0．
（2）點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（-2，2），C（1，0）．
CN=$\sqrt{（-2-1）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，圓C的半徑為2．
∴曲線C上的點(diǎn)到點(diǎn)N的距離最大值為$\sqrt{13}$+2，最小值為$\sqrt{13}$-2．
曲線C上的點(diǎn)到點(diǎn)N的距離的取值范圍是[$\sqrt{13}$-2，$\sqrt{13}$+2]．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，點(diǎn)，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．