Question

已知函數(shù)f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_2nx²ⁿ（n∈N^*），且a₁，a₂，a₃，一組成等差數(shù)列{a_n}，又a₁=1，f（-1）=2n；
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

an•an+1

，其前n項(xiàng)和為T_n，若T_n≥

m

6

對(duì)n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用賦值法求出數(shù)列的公差，進(jìn)一步求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，進(jìn)一步求出新數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，最后利用數(shù)列的單調(diào)性解決恒成立問(wèn)題，求出參數(shù)的取值范圍．

解答： （Ⅰ）解：設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，由f（-1）=2n，-a₁+a₂-a₃+…-a_2n-1+a_2n=2n
即：nd=2n
解得：d=2
又由于a₁=1
所以：
a_n=a₁+2（n-1）=2n-1
（Ⅱ）bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
所以：Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
整理得：Tn=

n

2n+1

所以：Tn=

1

2+ 1 n

隨n的增大而增大．
當(dāng)n=1時(shí)，T_n取得最小值T1=

1

3

根據(jù)題意：若T_n≥

m

6

對(duì)n∈N^*恒成立，
所以：

1

3

≥

m

6

對(duì)n∈N+恒成立
解得：m≤2
所以m_max=2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于中等題型．