Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）為偶函數(shù)，且函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

π

2

．
（1）求f（

π

8

）的值；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．求g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出函數(shù)的解析式即可求f（

π

8

）的值；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．利用三角函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)即可求g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-

π

6

），
∵函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

π

2

．
∴

T

2

=

π

2

，即函數(shù)的周期是T，則ω=2，
若f（x）為偶函數(shù)，
則φ-

π

6

=kπ+

π

2

，
即φ=kπ+

2π

3

，
∵0＜φ＜π，
∴φ=

2π

3

，
即f（x）=2cos2x，
∴f（

π

8

）=2cos

π

4

=2×

2

2

=

2

；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后，得到函數(shù)y=g（x）=f（x-

π

6

）=2cos[2（x-

π

6

）]=2cos（2x-

π

3

），
由2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+π，k∈Z，
即kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z，即此時函數(shù)單調(diào)遞減，
則g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，綜合考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及輔助角公式的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，運算量較大．