Question

【題目】如圖，P是圓x2+y2＝4上的動點，P點在x軸上的射影是D，點M滿足．

（Ⅰ）求動點M的軌跡C的方程

（Ⅱ）設(shè)A、B是軌跡C上的不同兩點，點E（﹣4，0），且滿足，若λ∈[，1），求直線AB的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）k∈（，]∪[，）．

【解析】

（Ⅰ）設(shè)，則，由，知，通過點在圓上，代入求解即可得到軌跡方程．并說明圖形．

（Ⅱ）根據(jù)題意，直線的斜率存在且不為0，不妨設(shè)直線，聯(lián)立，根據(jù)△可得，再根據(jù)，以及根與系數(shù)關(guān)系可得，利用函數(shù)思想求出函數(shù)的取值范圍，進(jìn)而可求出的取值范圍．

解：（Ⅰ）設(shè)，則，由，知，

點在圓上，

，故點的軌跡的方程為；

（Ⅱ）根據(jù)題意，直線的斜率存在且不為0，不妨設(shè)直線，

聯(lián)立，整理得，

則△，解得即，

設(shè)，，，，

則根據(jù)韋達(dá)定理得，，

又因為，即，，，

所以，從而，

消去得，

令其中，，

則在，上單調(diào)遞減，即有，

從而，

所以，解得即或，

綜上，，，．