Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=1g（1+x）-lg（1-x）
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若f（a）＞0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由對數(shù)式的真數(shù)大于0聯(lián)立不等式組求出函數(shù)的定義域，然后再由f（-x）+f（x）=0可得函數(shù)為奇函數(shù)；
（2）由f（a）＞0，求解對數(shù)不等式得答案．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，得-1＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）=1g（1+x）-lg（1-x）的定義域?yàn)椋?1，1），
又f（-x）+f（x）=lg（1-x）-lg（1+x）+1g（1+x）-lg（1-x）=0，
∴函數(shù)f（x）為定義域上的奇函數(shù)；
（2）由f（a）＞0，得1g（1+a）-lg（1-a）＞0，
即1g（1+a）＞lg（1-a），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜a＜1}\\{1+a＞1-a}\end{array}\right.$，解得：0＜a＜1．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，考查了對數(shù)不等式的解法，是中檔題．