Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右頂點A，上頂點為B，F(xiàn)₁為左焦點，M為橢圓上一點，MF₁垂直于x軸，O為坐標原點且

AB

與

OM

共線，又直線l：（k+2）x-2ky+4k+8=0（k∈R），過定點P，且P恰在橢圓的左準線上．
（1）求定點P的坐標；
（2）求橢圓C的方程；
（3）設(shè)直線l與直線MF₁的交點為Q，當k為何值時以PQ為直徑的圓過點B？

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標準方程

專題：探究型,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：對第（1）問，將直線l的方程中的k分離出來，根據(jù)定點不隨k的改變而改變，即可獲得定點．
對第（2）問，由P點在橢圓的左準線上，得a與c的等量關(guān)系；由MF₁垂直于x軸，可設(shè)M（-c，y₀），利用

AB

與

OM

共線的充要條件，得y₀的表達式，再將點M的坐標代入橢圓方程中，得a，c的另一個關(guān)系，聯(lián)立關(guān)于a，c的兩個方程，可得a，c的值，從而得b²，即得橢圓的標準方程．
對第（3）問，設(shè)Q點的坐標為（-2，y₁），可用y₁表示

BQ

的坐標，而

BP

的坐標可求，由

BP

⊥

BQ

，得關(guān)于y₁的方程，可得y₁的值，由兩點的斜率公式，得直線PQ的斜率，即為直線l的斜率，由l的方程得關(guān)于k的方程，即可得k的值．

解答： 解：（1）直線l的方程變形為k（x-2y+4）+2x+8=0，
由于l過定點P，則當k變化時，上式恒成立，所以

x-2y+4=0 2x+8=0

，
得

x=-4 y=0

，即定點P的坐標為（-4，0）．
（2）由點P（-4，0）在橢圓的左準線x=-

a2

x

上知，-

a2

c

=-4，得a²=4c．…①
由MF₁垂直于x軸，可設(shè)M（-c，y₀），則

OM

=(-c，y0)，
易知，

AB

=(-a，b)，由

AB

與

OM

共線，得-bc=-ay₀，即y0=

bc

a

，從而M(-c，

bc

a

)，
又M在橢圓上，將M的坐標代入橢圓方程中，得

(-c)2

a2

+

( bc a )2

b2

=1，化簡得a²=2c²．…②
由①、②，得c=2，a²=8，從而b²=a²-c²=4．
故橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（3）由（2）知，直線MF₁的方程為x=-2，
由于Q點在直線MF₁上，可設(shè)Q點的坐標為（-2，y₁），則

BQ

=(-2，y1-2)，
易知，

BP

=(-4，-2)，當

BP

⊥

BQ

時，以PQ為直徑的圓過點B，
此時，

BP

•

BQ

=0，得（-4，-2）•（-2，y₁-2）=0，解得y₁=6，即Q（-2，6）．
由兩點的斜率公式，得直線PQ的斜率=

6-0

-2-(-4)

=3，
又由l的方程知，l的斜率=

k+2

2k

，
所以

k+2

2k

=3，解得k=

2

5

，
即當k為

2

5

時，以PQ為直徑的圓過點B．

點評：本題考查了直線的方程，橢圓的方程，圓的性質(zhì)等，關(guān)鍵是將“以PQ為直徑的圓過點B”轉(zhuǎn)化為兩直線的垂直問題．