Question

19．過橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1內(nèi)一點(diǎn)（2，1）的弦被該點(diǎn)平分，則該弦所在直線的斜率是（　�。�

• A． 2
• B． -2
• C． $-\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由題意可得設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），代入橢圓方程，兩式相減可得：$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{16}+\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{4}=0$根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得k_EF=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$．

解答 解：設(shè)過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
則有$\frac{{x}_{1}^{2}}{16}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}=1$①，$\frac{{x}_{2}^{2}}{16}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}=1$②，
①-②式可得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{16}+\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{4}=0$，又點(diǎn)A為弦EF的中點(diǎn)，且A（2，1），
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
即得k_EF=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$，
該弦所在直線的斜率-$\frac{1}{2}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線的斜率公式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查點(diǎn)差法的應(yīng)用，屬于中檔題．