Question

4．頂點在原點，焦點在x軸正半軸的拋物線，經過點（3，6），
（1）求拋物線截直線y=2x-6所得的弦長．
（2）討論直線y=kx+1與拋物線的位置關系，并求出相應的k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意設橢圓的方程為：y²=2px，（p＞0），由拋物線經過點（3，6），代入即可求得p的值，求得拋物線方程，將y=2x-6代入y²=12x，由韋達定理求得x₁+x₂=9，x₁x₂=9，根據弦長公式可知：|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，即可求得拋物線截直線y=2x-6所得的弦長；
（2）當k=0時，y=1，直線與拋物線有一個交點，當k≠0時，將y=kx+1代入拋物線方程，由△＞0，直線與拋物線有兩個交點，求得k的取值范圍，當△＜0，直線與拋物線相離，無交點，求得k的取值范圍，當△=0，直線與拋物線相切，僅有幾個交點，求得k的取值．

解答 解：由題意可知：設橢圓的方程為：y²=2px，（p＞0），
由拋物線經過點（3，6），
∴36=2×p×3，解得：p=6，
∴拋物線方程為：y²=12x，
設直線y=2x-6與拋物線兩交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=12x}\\{y=2x-6}\end{array}\right.$，整理得：x²-9x+9=0，
由韋達定理可知：x₁+x₂=9，x₁x₂=9，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{5}$•$\sqrt{{9}^{2}-4×9}$=15，
拋物線截直線y=2x-6所得的弦長15，
（2）當k=0時，y=1，直線與拋物線有一個交點，
當k≠0時，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{y}^{2}=12x}\end{array}\right.$，整理得：k²x²+2（k-6）x+1=0，
當△=4（k-6）²-4k²＞0，解得：k＜3，
∴直線與拋物線有兩個交點，
△=4（k-6）²-4k²＜0，解得：k＞3，
直線與拋物線無交點，
當△=4（k-6）²-4k²=0，即k=3時，
直線與拋物線有一個交點，
綜上可知：當k＞3時，直線y=kx+1與拋物線相離，即直線與拋物線無交點，
當k=3時，直線y=kx+1與拋物線相切，直線與拋物線有一個交點，
當k＜3且k≠0，直線與拋物線相交，有兩個交點，
當k=0時，直線與拋物線相交，有一個交點．

點評 本題考查拋物線的標準方程，直線與拋物線的位置關系，弦長公式，韋達定理，利用判別式法，求直線與圓錐曲線的位置關系，考查計算能力，屬于中檔題．