Question

19．如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=2，BC=4，∠ABC=60° 頂點(diǎn)D在劣弧$\widehat{AC}$上運(yùn)動(dòng)，則三角形ACD面積的最大值等于（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 在三角形ABC中，運(yùn)用余弦定理可得AC，再在三角形ACD中，由余弦定理和均值不等式，可得AD•DC≤4，當(dāng)且僅當(dāng)AD=DC取得等號(hào)．再由三角形的面積公式可得最大值．

解答 解：在△ABC中，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，
由余弦定理可得AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°，
即為AC²=4+16-2×2×4×$\frac{1}{2}$=12，
可得AC=2$\sqrt{3}$，
在△ACD中，∠ADC=120°，
運(yùn)用余弦定理可得AC²=AD²+DC²-2AD•DC•cos120°
≥2AD•DC+AD•DC=3AD•DC，
可得AD•DC≤4，當(dāng)且僅當(dāng)AD=DC取得等號(hào)．
則△ACD的面積S=$\frac{1}{2}$AD•DC•sin120°≤$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
則AD=DC時(shí)，取得最大值$\sqrt{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的面積的最值的求法，注意運(yùn)用余弦定理和均值不等式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．