Question

14．已知f（x），g（x）分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f（x）-g（x）=e^x+x²+1，則函數(shù)h（x）=2f（x）-g（x）在點(diǎn)（0，h（0））處的切線方程是x-y+4=0．

Answer 1

分析 由題意可得f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），將已知條件中的方程的x換為-x，解方程可得f（x），g（x）的解析式，求得h（x）的解析式和導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程可得所求切線的方程．

解答 解：f（x），g（x）分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，
可得f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），
由f（x）-g（x）=e^x+x²+1，
可得f（-x）-g（-x）=e^-x+x²+1，
即為f（x）+g（x）=e^-x+x²+1，
解得$f（x）=\frac{{{e^x}+{e^{-x}}+2{x^2}+2}}{2}$，$g（x）=\frac{{{e^{-x}}-{e^x}}}{2}$，
即有h（x）=2f（x）-g（x）=${e^x}+{e^{-x}}+2{x^2}+2-\frac{{{e^{-x}}-{e^x}}}{2}$
=$\frac{3}{2}{e^x}+\frac{1}{2}{e^{-x}}+2{x^2}+2$，
可得導(dǎo)數(shù)為$h'（x）=\frac{3}{2}{e^x}+\frac{1}{2}{e^{-x}}•（-1）+4x$，
即有在點(diǎn)（0，h（0））處的切線斜率為$h'（0）=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$，
切點(diǎn)為（0，4），
則所求切線方程是x-y+4=0．
故答案為：x-y+4=0．

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時考查函數(shù)的解析式的求法，注意運(yùn)用奇偶函數(shù)的定義，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．