Question

19．奇函數(shù)f（x）定義域?yàn)椋?π，0）∪（0，π），其導(dǎo)函數(shù)為f′（x）．當(dāng)0＜x＜π時(shí)，有f′（x）sinx-f（x）cosx＜0，則關(guān)于x的不等式f（x）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）sinx的解集是$（-\frac{π}{4}，0）∪（\frac{π}{4}，π）$．

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，x∈（-π，0）∪（0，π），g′（x）=$\frac{{f}^{′}（x）sinx-f（x）cosx}{si{n}^{2}x}$＜0，0＜x＜π．可得函數(shù)g（x）在（0，π）上單調(diào)遞減．奇函數(shù)f（x）定義域?yàn)椋?π，0）∪（0，π），因此函數(shù)g（x）為偶函數(shù)．x∈（0，π），不等式f（x）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）sinx化為：$\frac{f（x）}{sinx}$＜$\frac{f（\frac{π}{4}）}{sin\frac{π}{4}}$，利用單調(diào)性即可解出；x∈（-π，0），不等式f（x）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）sinx化為：$\frac{f（x）}{sinx}$＞$\frac{f（\frac{π}{4}）}{sin\frac{π}{4}}$=$\frac{f（-\frac{π}{4}）}{sin（-\frac{π}{4}）}$，利用單調(diào)性即可得出．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，x∈（-π，0）∪（0，π），
g′（x）=$\frac{{f}^{′}（x）sinx-f（x）cosx}{si{n}^{2}x}$＜0，0＜x＜π．
∴函數(shù)g（x）在（0，π）上單調(diào)遞減．
奇函數(shù)f（x）定義域?yàn)椋?π，0）∪（0，π），因此函數(shù)g（x）為偶函數(shù)．
x∈（0，π），不等式f（x）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）sinx化為：$\frac{f（x）}{sinx}$＜$\frac{f（\frac{π}{4}）}{sin\frac{π}{4}}$，∴π＞$x＞\frac{π}{4}$
x∈（-π，0），不等式f（x）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）sinx化為：$\frac{f（x）}{sinx}$＞$\frac{f（\frac{π}{4}）}{sin\frac{π}{4}}$=$\frac{f（-\frac{π}{4}）}{sin（-\frac{π}{4}）}$，∴$-\frac{π}{4}＜x＜0$．
綜上可得：x∈：$（-\frac{π}{4}，0）∪（\frac{π}{4}，π）$．
故答案為：$（-\frac{π}{4}，0）∪（\frac{π}{4}，π）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了構(gòu)造法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．