【題目】已知橢圓： ，過點作圓的切線交橢圓于、兩點．

（Ⅰ）求橢圓的焦點坐標和離心率；

（Ⅱ）將表示成的函數(shù)，并求的最大值．

【答案】（1）（2）的最大值為2.

【解析】試題分析： 由題意及橢圓和圓的標準方程，利用橢圓離心率的定義和點到直線的距離公式即可求解；

由題意推出，通過當 ，當時，設切線方程為

，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理弦長公式以及圓的圓心到直線的距離等于半徑，轉(zhuǎn)化求解，利用基本不等式求出最值即可。

解析：（Ⅰ）橢圓的半長軸長，半短軸長，半焦距，

焦點坐標是， ，離心率是；

（Ⅱ）易知，當時，切線方程為或，

此時

當時，易知切線方程斜率不為0，可設切線的方程為： ，

即，則，得： ①

聯(lián)立： ，得： ，整理：

其中

②

代入②：，

而，等號成立當且僅當，

即時．

綜上， 的最大值為2.

練習冊系列答案
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【題目】《算法統(tǒng)綜》是明朝程大位所著數(shù)學名著，其中有這樣一段表述：“遠看巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一”，其意大致為：有一七層寶塔，每層懸掛的紅燈數(shù)為上一層的兩倍，共有381盞燈，則塔從上至下的第三層有（ ）盞燈.
A.14
B.12
C.10
D.8

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B.

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（Ⅱ）直線與曲線相切，且與圓相交于兩點，當的面積最大時，試求直線的方程.

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（2）過定點作直線與橢圓交于點（異于橢圓的左、右頂點）兩點，設直線與直線相交于點.

①若，試求點的坐標；

②求證：點始終在一條直線上.

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