Question

8．已知$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+2mlnx-（2+m）x，m∈R$．
（I）當(dāng)m＞0時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；
（II）若對(duì)任意的a，b∈（0，+∞）且a＞b有f（a）-f（b）＞m（b-a）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意0＜b＜a，f（a）+ma＞f（b）+mb恒成立，令F（x）=f（x）+mx，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．

解答 解：（I）由題意可得：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）…（1分）
$f（x）=x+\frac{2m}{x}-（2+m）$=$\frac{{{x^2}-（2+m）x+2m}}{x}$=$\frac{（x-2）（x-m）}{x}$…（3分）
當(dāng)m＞2時(shí)，令f'（x）＞0，解得：0＜x＜2或x＞m，
令f'（x）＜0，解得：2＜x＜m
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2）和（m，+∞）
單調(diào)減區(qū)間為：（2，m）…（5分）
當(dāng)m=2時(shí)f'（x）≥0
∴f（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞），無(wú)遞減區(qū)間．
當(dāng)0＜m＜2時(shí)，令f'（x）＞0，解得：0＜x＜m或x＞2，
令f'（x）＜0，解得：m＜x＜2
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，m）和（2，+∞）
單調(diào)減區(qū)間為：（m，2）…（7分）
（II）∵對(duì)任意0＜b＜a，f（a）-f（b）＞m（b-a）恒成立．
∴對(duì)任意0＜b＜a，f（a）+ma＞f（b）+mb恒成立．…（9分）
令F（x）=f（x）+mx，則F（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)…（10分）
又$F（x）=\frac{1}{2}{x^2}+2mlnx-2x$
∴$F'（x）=x+\frac{2m}{x}-2$=$\frac{{{x^2}-2x+2m}}{x}$=$\frac{{{{（x-1）}^2}+2m-1}}{x}=\frac{{{{（x-1）}^2}-（1-2m）}}{x}$…（12分）
∴F'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴1-2m≤0，即$m≥\frac{1}{2}$…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．