Question

18．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}+tcosα\\ y=2+tsinα\end{array}\right.（t$是參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，C₂曲線的極坐標(biāo)方程為ρ²=4$\sqrt{2}$ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）-4．
（1）求曲線C₂的直角坐標(biāo)方程，并指出其表示何種曲線；
（2）若曲線C₁與曲線C₂交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化方法求曲線C₂的直角坐標(biāo)方程，并指出其表示何種曲線；
（2）當(dāng)直線過圓心（2，2）時(shí)，|AB|的最大為4，當(dāng)AB為過點(diǎn)P（$\sqrt{3}$，2）且與PC₁垂直時(shí)，|AB|最�。�

解答 解：（1）對(duì)于C₂曲線的極坐標(biāo)方程為ρ²=4$\sqrt{2}$ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）-4，
即x²+y²=4x+4y-4，因此曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為（x-2）²+（y-2）²=4，
其表示一個(gè)以（2，2）為圓心，半徑為2的圓．
（2）曲線C₂是過點(diǎn)P（$\sqrt{3}$，2）的直線，P（$\sqrt{3}$，2）在曲線C₂內(nèi)，
所以當(dāng)直線過圓心（2，2）時(shí)，|AB|的最大為4，
當(dāng)AB為過點(diǎn)P（$\sqrt{3}$，2）且與PC₁垂直時(shí)，|AB|最小，弦心距為2-$\sqrt{3}$，最小值為2$\sqrt{-3+4\sqrt{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．