Question

2．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，（n+3）a_n+1=2na_n（n∈N₊），記b_n=n（n+1）（n+2）a_n．
（1）求證：{b_n}為等比數(shù)列；
（2）設(shè)c_n=$\frac{{a}_{n}}{3•{2}^{n}}$，且數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：S_n＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由已知（n+3）a_n+1=2na_n，得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{2n}{n+3}$，再由b_n=n（n+1）（n+2）a_n，得b_n+1=（n+1）（n+2）（n+3）a_n+1，作比后可得{b_n}為公比是2的等比數(shù)列；
（2）求出等比數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，代入b_n=n（n+1）（n+2）a_n求得a_n．進(jìn)一步代入c_n=$\frac{{a}_{n}}{3•{2}^{n}}$，然后利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，放縮得答案．

解答 證明：（1）由（n+3）a_n+1=2na_n，得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{2n}{n+3}$，
又b_n=n（n+1）（n+2）a_n，
∴b_n+1=（n+1）（n+2）（n+3）a_n+1，
則$\frac{_{n+1}}{_{n}}=\frac{（n+1）（n+2）（n+3）{a}_{n+1}}{n（n+1）（n+2）{a}_{n}}$=$\frac{n+3}{n}•\frac{2n}{n+3}=2$，
∴{b_n}為公比是2的等比數(shù)列；
（2）∵{b_n}為公比是2的等比數(shù)列，且b₁=6a₁=6，
∴$_{n}=n（n+1）（n+2）{a}_{n}=6•{2}^{n-1}=3•{2}^{n}$，
則${a}_{n}=\frac{3•{2}^{n}}{n（n+1）（n+2）}$，
∴c_n=$\frac{{a}_{n}}{3•{2}^{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{2}[\frac{1}{n（n+1）}-\frac{1}{（n+1）（n+2）}]$，
則${S}_{n}=\frac{1}{2}[\frac{1}{1×2}-\frac{1}{2×3}+\frac{1}{2×3}-\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n（n+1）}-\frac{1}{（n+1）（n+2）}]$=$\frac{1}{4}-\frac{1}{2（n+1）（n+2）}＜\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．