Question

11．若sinα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，β=arccos（-$\frac{\sqrt{5}}{5}$），0＜α＜$\frac{π}{2}$，求證：α+β=$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 先由得：β=arccos（-$\frac{\sqrt{5}}{5}$），得到cosβ=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{π}{2}$＜β＜π，再利用同角三角函數(shù)的基本關系和α、β的范圍，求得cosα和cosβ的值，進而利用余弦函數(shù)的兩角和公式求得答案．

解答 證明：∵sinα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$＜$\frac{1}{2}$＜sin$\frac{π}{6}$，0＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴0＜α＜$\frac{π}{6}$
∴cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∵β=arccos（-$\frac{\sqrt{5}}{5}$），
∴cosβ=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{π}{2}$＜β＜π，
∴sinβ=$\sqrt{1-si{n}^{2}β}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$×（-$\frac{\sqrt{5}}{5}$）-$\frac{\sqrt{10}}{10}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0＜α+β＜$\frac{7π}{6}$
∴α+β=$\frac{3π}{4}$．

點評 本題主要考查了反三角函數(shù)的運用、同角三角函數(shù)的基本關系的應用和兩角和公式求值．重點考查了三角函數(shù)基礎知識的運用．屬于中檔題．