Question

【題目】為半橢圓的左、右兩個頂點(diǎn)，為上焦點(diǎn)，將半橢圓和線段合在一起稱為曲線

（1）求的外接圓圓心的坐標(biāo)

（2）過焦點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，若，求所有滿足條件的直線的方程

（3）對于一般的封閉曲線，曲線上任意兩點(diǎn)距離的最大值稱為該曲線的“直徑”，如圓的“直徑”就是通常的直徑，橢圓的“直徑”就是長軸的長，求該曲線的“直徑”

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）先根據(jù)已知條件求出的三邊長,可得為邊長為的等邊三角形,再利用等邊三角形的性質(zhì),即可求得外接圓圓心的坐標(biāo);

（2）設(shè)出方程,與橢圓方程聯(lián)立方程組,得出,用弦長公式求出的長,用含的式子表示,根據(jù),即可求出值;

（3）先設(shè)曲線上兩動點(diǎn)的坐標(biāo),代入兩點(diǎn)間距離公式,再利用放縮法,以及橢圓上點(diǎn)的范圍即可求出兩動點(diǎn)間距離的范圍,進(jìn)而求出“直徑”長.

（1）由題意可知:

則,, 故為邊長為的等邊三角形

根據(jù)等邊三角形外心和重心重合,

三角形的重心坐標(biāo)公式為: ,

設(shè)的外接圓圓心的坐標(biāo)為,

,

故外接圓圓心的坐標(biāo)為:.

（2）

記橢圓的上頂點(diǎn)坐標(biāo)為

①若直線與曲線的兩交點(diǎn),一個在橢圓上,另一個在線段上,如圖.

,,即此時,

只有直線符合題意.

②設(shè)點(diǎn)兩點(diǎn)都在橢圓上,

直線

將橢圓和直線聯(lián)立方程組,消掉:

則: 得 即

由韋達(dá)定理可得:

由弦長公式得: 解得:

當(dāng)時,直線

當(dāng)時,直線

綜上所述,滿足題意的直線有三條分別為:.

（3）設(shè)曲線上兩動點(diǎn)

顯然至少有一點(diǎn)在橢圓上時才能取得最大

不妨設(shè)

則

等號成立時:,或,

由兩點(diǎn)距離公式可得:

故曲線的“直徑”為:.