Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax，g（x）=ax²-1，若a＜0，記函數(shù)H（x）=f（x）-g（x）圖象為曲線C，設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＜x₂）是曲線C上不同的兩點(diǎn)，直線AB的斜率為k，若存在x₀∈（x₁，x₂），使得H′（x₀）=k，試比較

x1+x2

2

與x₀的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：寫出函數(shù)y=H（x）的表達(dá)式，并求導(dǎo)，由兩點(diǎn)的斜率公式和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率，得到等式，整理，討論函數(shù)y=e^x圖象上兩點(diǎn)的斜率k₁，與它們之間一點(diǎn)處的切線的斜率k₂的大小，即可得到結(jié)論．

解答： 解：函數(shù)f（x）=e^x-ax，g（x）=ax²-1，
則函數(shù)y=H（x）=f（x）-g（x）=e^x-ax-ax²+1，
導(dǎo)數(shù)y′=e^x-a-2ax，
由于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＜x₂）是曲線C上不同的兩點(diǎn)，
則y₁=e^x₁-ax₁-ax₁²+1，y₂=e^x₂-ax₂-ax₂²+1，
則直線AB的斜率為k=

y1-y2

x1-x2

=

ex1-ex2

x1-x2

-a-a（x₁+x₂），
曲線H（x）在x₀處的切線斜率為H′（x₀）=k=e^x₀-a-2ax₀，
則有

ex1-ex2

x1-x2

-e^x₀=a（x₁+x₂-2x₀），
由于x₀∈（x₁，x₂），上式左邊表示函數(shù)y=e^x圖象上兩點(diǎn)的斜率k₁，
與它們之間一點(diǎn)處的切線的斜率k₂的差，
所以，當(dāng)k₁=k₂，則x₁+x₂-2x₀=0，即有

x1+x2

2

=x₀；
當(dāng)k₁＞k₂，則由于a＜0，則x₁+x₂-2x₀＜0，即有

x1+x2

2

＜x₀；
當(dāng)k₁＜k₂，則x₁+x₂-2x₀＞0，即有

x1+x2

2

＞x₀．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，考查分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．