Question

1．設命題p：實數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0；命題q：實數(shù)x滿足|x-3|≤1．
（1）若a=1，且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若a=1，分別求出p，q成立的等價條件，利用且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）利用￢p是￢q的充分不必要條件，即q是p的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由x²-4ax+3a²＜0得（x-3a）（x-a）＜0
當a=1時，1＜x＜3，
即p為真時實數(shù)x的取值范圍是1＜x＜3．
由|x-3|≤1，得-1≤x-3≤1，得2≤x≤4，
即q為真時實數(shù)x的取值范圍是2≤x≤4，
若p∧q為真，則p真且q真，
所以實數(shù)x的取值范圍是2≤x＜3．
（2）由x²-4ax+3a²＜0得（x-3a）（x-a）＜0，?p是?q的充分不必要條件，
即?p⇒?q，且?q⇒?p，設A={x|?p}，B={x|?q}，則A?B，
又A={x|?p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|?q}={x|x＞4 或 x＜2}，
則3a＞4且a＜2，其中a＞0，
所以實數(shù)a的取值范圍是$\frac{4}{3}＜a＜2$．

點評 本題主要考查復合命題與簡單命題之間的關系，利用逆否命題的等價性將￢p是￢q的充分不必要條件，轉(zhuǎn)化為q是p的充分不必要條件是解決本題的關鍵，