Question

已知函數f（x）=

2x-1

2x+1

．
（Ⅰ）判斷函數的奇偶性，并加以證明；
（Ⅱ）判斷函數在其定義域上的單調性，并加以證明；
（Ⅲ）若不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合,函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）根據函數奇偶性的定義即可判斷函數的奇偶性；
（Ⅱ）根據函數單調性的定義即可判斷函數在其定義域上的單調性，并加以證明；
（Ⅲ）根據函數的奇偶性和單調性之間的關系將不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0進行轉化即可求m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）函數f（x）為減函數，
∵f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f（x），
∴函數f（x）為減函數；
（Ⅱ）設x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

(2x1-1)(2x2+1)-(2x2-1)(2x1+1)

(2x1+1)(2x2+1)

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，
則f（x₁）-f（x₂）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
即函數在其定義域上的單調遞增；
（Ⅲ）若不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0恒成立，
則等價為f（1-m）＜-f（1-m²），
∵f（x）為奇函數且為增函數，
∴不等式等價為f（1-m）＜f（m²-1），
即1-m＜m²-1，
則m²+m-2＞0，
解得m＞1或m＜-2，
即m的取值范圍是{m|m＞1或m＜-2}．

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的應用，利用定義法是解決本題的關鍵．要求熟練掌握函數性質綜合應用．