Question

12．過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左焦點F作直線l與雙曲線交于A，B兩點，使得|AB|=4b，若這樣的直線有且僅有兩條，則離心率e的取值范圍是（　　）

• A． $（{1，\frac{{\sqrt{5}}}{2}}）$
• B． $（{\sqrt{5}，+∞}）$
• C． $（{\frac{{\sqrt{5}}}{2}，\sqrt{5}}）$
• D． $（{1，\frac{{\sqrt{5}}}{2}}）∪（{\sqrt{5}，+∞}）$

Answer 1

分析 根據(jù)直線與雙曲線相交的情形，分兩種情況討論：①AB只與雙曲線右支相交，②AB與雙曲線的兩支都相交，分析其弦長的最小值，利用符合條件的直線的數(shù)目，綜合可得答案．

解答 解：由題意過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左焦點F作直線l與雙曲線交于A，B兩點，使得|AB|=4b，若這樣的直線有且僅有兩條，可得$\frac{2^{2}}{a}$＜|AB|=4b，并且2a＞4b，e＞1，
可得：e＞$\sqrt{5}$或1$＜e＜\frac{\sqrt{5}}{2}$
綜合可得，有2條直線符合條件時，：e＞$\sqrt{5}$或1$＜e＜\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查直線與雙曲線的關(guān)系，解題時可以結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，分析直線與雙曲線的相交的情況，分析其弦長最小值，從而求解；要避免由弦長公式進行計算．