Question

20．已知函數(shù)f（x）=4sin（x-$\frac{π}{3}$）cosx+$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）-m所在[0，$\frac{π}{2}$]勻上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，并計(jì)算tan（x₁+x₂）的值．

Answer 1

分析 （1）利用和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）函數(shù)g（x）=f（x）-m所在[0，$\frac{π}{2}$]勻上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）與函數(shù)y=m有兩個(gè)交點(diǎn)；可求m的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象可知，x₁，x₂，關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)稱(chēng)的，可知x₁+x₂，即可求tan（x₁+x₂）的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=4sin（x-$\frac{π}{3}$）cosx+$\sqrt{3}$．
化簡(jiǎn)可得：f（x）=2sinxcosx-2$\sqrt{3}$cos²x+$\sqrt{3}$
=sin2x-$2\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$cos2x）+$\sqrt{3}$
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）
（1）函數(shù)的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤$2x-$\frac{π}{3}$$≤2kπ+\frac{π}{2}$時(shí)單調(diào)遞增，
解得：$kπ-\frac{π}{12}$≤x≤$kπ+\frac{5π}{12}$
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[：$kπ-\frac{π}{12}$，$kπ+\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
（2）函數(shù)g（x）=f（x）-m所在[0，$\frac{π}{2}$]勻上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁′，x₂′，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）與函數(shù)y=m有兩個(gè)交點(diǎn)
令u=2x-$\frac{π}{3}$，∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴u∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]
可得f（x）=sinu的圖象（如圖）．
從圖可知：m在[$\sqrt{3}$，2），函數(shù)f（x）與函數(shù)y=m有兩個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為x₁′，x₂′．
故得實(shí)數(shù)m的取值范圍是m∈[$\sqrt{3}$，2），
由題意可知x₁′，x₂′是關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)稱(chēng)的：
那么函數(shù)在[0，$\frac{π}{2}$]的對(duì)稱(chēng)軸x=$\frac{5π}{12}$
∴x₁′+x₂′=$\frac{5π}{12}$
那么：tan（x₁′+x₂′）=tan$\frac{5π}{12}$=tan（$\frac{π}{6}+\frac{π}{4}$）=$\frac{tan\frac{π}{6}+tan\frac{π}{4}}{1-tan\frac{π}{6}tan\frac{π}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}+3}{3-\sqrt{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．