Question

5．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且basinA+bcsinC=b²+c²-a²，a+c=8，A=$\frac{π}{4}$，則a+b=4+4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)余弦定理將方程進行化簡，結(jié)合正弦定理建立對稱關系求出a，c的值即可得到結(jié)論．

解答 解：∵cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，∴b²+c²-a²=2bccosA，
則basinA+bcsinC=b²+c²-a²，等價為basinA+bcsinC=2bccosA，
即asinA+csinC=2ccosA，
∵A=$\frac{π}{4}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+csinC=$\sqrt{2}$c，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$得sinC=$\frac{c}{a}•sinA$=$\frac{\sqrt{2}c}{2a}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+$\frac{\sqrt{2}{c}^{2}}{2a}$=$\sqrt{2}$c，
即a²+c²=2ac，則（a-c）²=0，
得a=c，
∵a+c=8，∴a=c=4，
則A=C=$\frac{π}{4}$，則B=$\frac{π}{2}$，
則b=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{16+16}=\sqrt{32}$=4$\sqrt{2}$，
則a+b=4+4$\sqrt{2}$，
故答案為：4+4$\sqrt{2}$

點評 本題主要考查解三角形的應用，利用正弦定理和余弦定理是解決本題的關鍵．