Question

9．如圖，在直角梯形ABCD中，DA=AB=1，BC=2，點(diǎn)P在陰影區(qū)域（含邊界）中運(yùn)動(dòng)，則有$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BD}$的取值范圍是（　�。�

• A． [-1，1]
• B． $[{-1，\frac{1}{2}}]$
• C． $[{-\frac{1}{2}，1}]$
• D． [-1，0]

Answer 1

分析 可分別以AD，AB為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，從而可求出圖形上各點(diǎn)的坐標(biāo)，可設(shè)P（x，y），從而可以求得$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BD}=x+y$，可設(shè)z=x+y，這樣便可根據(jù)線(xiàn)性規(guī)劃的知識(shí)求出z的最大、最小值，從而便可得出$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BD}$的取值范圍．

解答 解：分別以AD，AB為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則：
A（0，0），B（0，-1），D（1，0），C（2，-1）；
設(shè)P（x，y），則$\overrightarrow{AP}=（x，y）$，且$\overrightarrow{BD}=（1，1）$；
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BD}=x+y$；
設(shè)x+y=z，則y=-x+z，表示斜率為-1，在y軸上的截距為z的一族平行直線(xiàn)；
∵k_DC=-1；
∴由圖形可看出，當(dāng)直線(xiàn)z=x+y與直線(xiàn)DC重合時(shí)，截距z最大；
帶入D點(diǎn)坐標(biāo)得z=1，即z的最大值為1；
當(dāng)直線(xiàn)z=x+y經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，-1）時(shí)，截距z取最小值-1；
∴z的取值范圍，即$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BD}$的取值范圍為[-1，1]．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 考查通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)解決向量問(wèn)題的方法，能求平面上點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可求向量的坐標(biāo)，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)在求最值中的應(yīng)用．