Question

18．以直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的方程是ρ²-2ρcosθ-2$\sqrt{3}$ρsinθ+3=0，點(diǎn)A是曲線C與Y軸的交點(diǎn)，直線l的方程是ρcos（θ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和點(diǎn)A的極坐標(biāo)；
（2）求以A點(diǎn)為圓心且與直線l相切的圓C′的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （1）曲線C的方程是ρ²-2ρcosθ-2$\sqrt{3}$ρsinθ+3=0，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程，令x=0，解得y即可得出A．
（2）直線l的方程是ρcos（θ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，展開(kāi)為：$\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ$-$\frac{1}{2}ρsinθ$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．求出圓心A到直線的距離d．即可得出：以A點(diǎn)為圓心且與直線l相切的圓C′的直角坐標(biāo)方程，即可化為極坐標(biāo)方程．

解答 解：（1）曲線C的方程是ρ²-2ρcosθ-2$\sqrt{3}$ρsinθ+3=0，
可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²-2x-2$\sqrt{3}$y+3=0．
令x=0，可得y²-2$\sqrt{3}$y+3=0，解得y=$\sqrt{3}$．
∴點(diǎn)A是曲線C與Y軸的交點(diǎn)（0，$\sqrt{3}$）．
（2）直線l的方程是ρcos（θ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
展開(kāi)為：$\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ$-$\frac{1}{2}ρsinθ$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，化為$\sqrt{3}$x-y-$\sqrt{3}$=0，
可得圓心A到直線的距離d=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
∴以A點(diǎn)為圓心且與直線l相切的圓C′的直角坐標(biāo)方程：${x}^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}$=3，
化為x²+y²-2$\sqrt{3}$y=0，
可得極坐標(biāo)方程：${ρ}^{2}-2\sqrt{3}ρ$sinθ=0，
即ρ=2$\sqrt{3}$sinθ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程互化、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓相切的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．