Question

6．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，AC=BC=$\frac{1}{2}$AA₁，D是棱AA₁的中點，DC₁⊥BD．
（1）證明：DC₁⊥面BCD；
（2）設AA₁=2，求點B₁到平面BDC₁的距離．

Answer 1

分析 （1）在矩形ACC₁A₁中，利用勾股定理證明C₁D⊥DC，由DC₁⊥BD，DC∩BD=D能證明DC₁⊥平面BDC；
（2）建立空間直角坐標系，求出平面BDC₁的法向量，即可求點B₁到平面BDC₁的距離．

解答 （1）證明：由題設知，三棱柱的側(cè)面為矩形．
由于D是棱AA₁的中點，故DC=DC₁．
又AC=$\frac{1}{2}$AA₁，可得DC²+DC₁²=CC₁²，所以△C₁DC是直角三角形，
∴C₁D⊥DC．
而DC₁⊥BD，DC∩BD=D，
所以DC₁⊥面BCD． …（5分）
（2）解：由（1）知BC⊥DC₁，且BC⊥CC₁，則BC⊥平面ACC₁A₁，所以CA，CB，CC₁兩兩垂直．
以C為坐標原點，$\overrightarrow{CA}$的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz．
由題意知B（0，1，0），D（1，0，1），C₁（0，0，2），B₁（0，1，2），P（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，2），
則$\overrightarrow{BD}$=（1，-1，1），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{P{C}_{1}}$=（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（0，-1，0）
設$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面BDC₁的法向量，則$\left\{\begin{array}{l}{x-y+z=0}\\{-x+z=0}\end{array}\right.$
可取$\overrightarrow{m}$=（1，2，1）． …（10分）
設點B₁到平面BDC₁的距離為d，則d=|$\frac{-2}{1×\sqrt{6}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查點到平面距離的計算，考查向量知識的運用，屬于中檔題．