Question

8．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₁的極坐標(biāo)方程為$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a$，曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+cosφ\(chéng)\ y=-1+sinφ\(chéng)end{array}\right.$（φ為參數(shù)且0≤φ≤π）．
（1）求曲線C₁的直角坐標(biāo)方程和曲線C₂的普通方程；
（2）當(dāng)曲線C₁和曲線C₂有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a$，展開(kāi)可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，利用互化公式可得可得直角坐標(biāo)方程．由曲線C₂的參數(shù)方程，利用平方關(guān)系：cos²φ+sin²φ=1可得普通方程，注意y的取值范圍．
（2）當(dāng)曲線C₁和曲線C₂有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，數(shù)形結(jié)合可得：圓心（-1，-1）到直線的距離d=$\frac{|-1-1-a|}{\sqrt{2}}$＜1，且a≥-1，解出即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a$，
展開(kāi)可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
可得直角坐標(biāo)方程：x+y-a=0．
曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+cosφ\(chéng)\ y=-1+sinφ\(chéng)end{array}\right.$（φ為參數(shù)且0≤φ≤π），
可得普通方程：（x+1）²+（y+1）²=1，（-1≤y≤0）．
（2）當(dāng)曲線C₁和曲線C₂有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，
圓心（-1，-1）到直線的距離d=$\frac{|-1-1-a|}{\sqrt{2}}$＜1，且a≥-1，
解得-1≤a＜$\sqrt{2}$-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程互化、參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓相交關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．