Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其圖象與軸交于，兩點(diǎn)，且.

（1）求的取值范圍；

（2）證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析；

【解析】

（1）先求出，易得當(dāng)不符合題意，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得極小值，所以，得到的范圍，再由，，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，得到答案.（2）由題意，，兩式相減，得到，記，將轉(zhuǎn)化為，再由導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)性，從而得到，再由是單調(diào)增函數(shù)，得到.

解：（1）因?yàn)?/span>，

所以.

若，則，

則函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，這與題設(shè)矛盾.

所以，令，則.

當(dāng)時(shí)，，是單調(diào)減函數(shù)；

時(shí)，，是單調(diào)增函數(shù)；

于是當(dāng)時(shí)，取得極小值.

因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，，

所以，即.

此時(shí)，存在，；

存在，，

又在上連續(xù)，故.

（2）因?yàn)?/span>

兩式相減得.

記，

則，

設(shè)，則，

所以是單調(diào)減函數(shù)，

則有，而，所以.

又是單調(diào)增函數(shù)，且；

所以.