Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，（x≤0）}\\{f（x-2）+1，（x＞0）}\end{array}\right.$，把函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x的偶數(shù)零點按從小到大的順序排列成一個數(shù)列，該數(shù)列的前n項的和S_n，則S₁₀=90．

Answer 1

分析 由分段函數(shù)解析式得到函數(shù)f（x）在x＞0時的分段解析式，首先求得函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x在（-2，0]上的零點，然后根據(jù)函數(shù)的圖象平移得到函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x在（0，2]，（2，4]，（4，6]，…，（2n，2n+2]上的零點，得到偶數(shù)零點按從小到大的順序排列的數(shù)列，利用等差數(shù)列的前n項和得答案．

解答 解：當(dāng)0＜x≤2時，有-2＜x-2≤0，則f（x）=f（x-2）+1=2^x-2，
當(dāng)2＜x≤4時，有0＜x-2≤2，則f（x）=f（x-2）+1=2^x-4+1，
當(dāng)4＜x≤6時，有2＜x-2≤4，則f（x）=f（x-2）+1=2^x-6+2，
當(dāng)6＜x≤8時，有4＜x-1≤6，則f（x）=f（x-2）+1=2^x-8+3，
以此類推，當(dāng)2n＜x≤2n+2（其中n∈N）時，則f（x）=f（x-2）+1=2^x-2n-2+n，
∴函數(shù)f（x）=2^x的圖象與直線y=$\frac{1}{2}$x+1的交點為：（0，1）和（-1，$\frac{1}{2}$），
由于指數(shù)函數(shù)f（x）=2^x為增函數(shù)且圖象下凸，故它們只有這兩個交點．
將函數(shù)f（x）=2^x和y=$\frac{1}{2}$x+1的圖象同時向下平移一個單位，即得到函數(shù)f（x）=2^x-1和y=$\frac{1}{2}$x的圖象，
取x≤0的部分，可見它們有兩個交點（0，0），（-1，-$\frac{1}{2}$）．
即當(dāng)x≤0時，方程f（x）-$\frac{1}{2}$x=0有兩個根x=-1，x=0；
當(dāng)0＜x≤2時，由函數(shù)圖象平移可得g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x的零點為1，2；
以此類推，函數(shù)y=f（x）與y=$\frac{1}{2}$x在（2，4]，（4，6]，…，（2n，2n+2]上的零點分別為：
3，4；5，6；…；2n+1，2n+2；
綜上所述函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x的偶數(shù)零點按從小到大的順序排列所得數(shù)列為：
0，2，4，…，
其通項公式為：a_n=2（n-1），前10項的和為S₁₀=10×0+$\frac{10×9}{2}×2$=90．
故答案為：90．

點評 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)零點的判斷方法、等差數(shù)列的和的求法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．