Question

11．已知平面向量$\vec a$與$\vec b$滿足|$\vec a+\vec b$|=1，|${\vec a$-$\vec b}$|=$\sqrt{2}$，且＜$\vec a$+$\vec b$，$\vec a$-$\vec b$＞=$\frac{π}{4}$，則|$\vec a-5\vec b}$|=$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 根據條件可以得出${\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow}^{2}=1$，${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}=2$，${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}=1$，這三個式子聯(lián)立便可求出$|\overrightarrow{a}|，|\overrightarrow|$，及$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的值，進而可以求出$（\overrightarrow{a}-5\overrightarrow）^{2}$的值，從而求出$|\overrightarrow{a}-5\overrightarrow|$的值．

解答 解：根據條件$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）=1$；
即${\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow}^{2}=1$①；
$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}=2$②，$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}=1$③；
∴①②③聯(lián)立便可求出$|\overrightarrow{a}|=\frac{\sqrt{5}}{2}，|\overrightarrow|=\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-\frac{1}{4}$；
∴$|\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{|}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-10\overrightarrow{a}•\overrightarrow+25{\overrightarrow}^{2}$
=$\frac{5}{4}+\frac{10}{4}+\frac{25}{4}$
=10；
∴$|\overrightarrow{a}-5\overrightarrow|$=$\sqrt{10}$．
故答案為：$\sqrt{10}$．

點評 考查向量數量積的運算及計算公式，向量夾角的表示符號，要求向量長度而求向量長度平方的方法．