Question

1．已知x=1是函數(shù)f（x）=x^a+b的一個零點．
（1）若函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為2，求f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=f（x）+ln（1+e^-2x），且g（x）是偶函數(shù)，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的零點的定義，可得f（1）=0，解得b=-1，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，求得a=2，進(jìn)而得到f（x）的解析式；
（2）求出g（x）=x^a-1+ln（1+e^-2x），由g（x）為偶函數(shù)，可得g（-x）=g（x），化簡整理，結(jié)合恒成立思想，可得a=1．

解答 解：（1）x=1是函數(shù)f（x）=x^a+b的一個零點，
可得f（1）=0，即1+b=0，解得b=-1．
f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=ax^a-1，
可得在點（1，f（1））處的切線的斜率為a=2，
則f（x）=x²-1；
（2）由（1）可得，g（x）=f（x）+ln（1+e^-2x）
=x^a-1+ln（1+e^-2x），
由g（x）為偶函數(shù)，可得：
g（-x）=g（x），
即（-x）^a-1+ln（1+e^2x）=x^a-1+ln（1+e^-2x），
即有（-x）^a-x^a+ln（1+e^2x）-ln（1+e^-2x）=0，
即為（-x）^a-x^a+ln$\frac{1+{e}^{2x}}{1+{e}^{-2x}}$=（-x）^a-x^a+lne^2x=0，
即有（-x）^a-x^a+2x=0，
由于上式對于x∈R恒成立，
可得a=1．
則實數(shù)a的值為1．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，同時考查函數(shù)的零點問題及偶函數(shù)的定義的運用，考查運算能力，屬于中檔題．