Question

19．已知f（x）=ax+xlnx（a∈R），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若2f（x）一（k+1）x+k＞0（k∈Z）對任意x＞1都成立，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）由f′（1）=2得a，從而可得f′（x）=lnx+2，在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；
（2）不等式整理成k＜$\frac{2f（x）-x}{x-1}$，令g（x）=$\frac{x+2xlnx}{x-1}$，只需求出g（x）的最小值即可．

解答 解：（1）f'（x）=a+lnx+1，
∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為2，
∴f'（1）=a+1=2，∴a=1，
∴f'（x）=lnx+2，
當(dāng)x∈（0，e^-2）時，f'（x）＜0，f（x）遞減，
當(dāng)x∈（e^-2，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）遞增，
∴f（x）的極小值是f（e^-2）=-e^-2，無極大值；
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，e^-2），單調(diào)遞增區(qū)間為（e^-2，+∞）；
（2）2f（x）-（k+1）x+k＞0，
∴k＜$\frac{2f（x）-x}{x-1}$，∴k＜$\frac{x+2xlnx}{x-1}$，
令g（x）=$\frac{x+2xlnx}{x-1}$，則g'（x）=$\frac{2x-3-2lnx}{{（x-1）}^{2}}$，
設(shè)h（x）=2x-3-2lnx，則h'（x）=2-$\frac{2}{x}$＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
∵h（2）=1-2ln2＜0，h（3）=3-2ln3＞0，
∴?x₀∈（2，3），且h（x₀）=0，
當(dāng)x∈（1，x₀）時，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）在（1，x₀）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（x₀，+∞）時，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增．
∴g（x）_min=g（x₀）=$\frac{{x}_{0}+{2x}_{0}l{nx}_{0}}{{x}_{0}-1}$，
∵h（x₀）=2x₀-3-2lnx₀=0，
∴g（x₀）=2x₀，
∵x₀∈（2，3），
∴k的最大值為4．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，解題時合理構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵．