Question

14．己知橢圓$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1$（m＞n＞0）的離心率e的值為$\frac{1}{2}$，右準(zhǔn)線方程為x=4．如圖所示，橢圓C左右頂點分別為A，B，過右焦點F的直線交橢圓C于M，N，直線AM，MB交于點P．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點P（4，$3\sqrt{3}$），直線AN，BM的斜率分別為k₁，k₂，求$\frac{k_1}{k_2}$．
（3）求證點P在一條定直線上．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓C的離心率為$\frac{1}{2}$，右準(zhǔn)線的方程為x=4，建立方程，求出幾何量，可得橢圓C的方程；
（2）利用A，P點，求出直線AP，與橢圓方程求解M的坐標(biāo)，直線MF與橢圓聯(lián)立求出N的坐標(biāo)，可得AN，BM的斜率分別為k₁，k₂，可求$\frac{k_1}{k_2}$的值．
（3）設(shè)出MN的直線方程y=k（x-1），利用設(shè)而不求的思想，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），表示出AN直線，BM直線的方程．AN直線與BM直線聯(lián)立方程求解p的坐標(biāo)，可得P在一條定直線上．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1$（a＞b＞0）的離心率e的值為$\frac{1}{2}$，即$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，右準(zhǔn)線方程為x=4，即$\frac{{a}^{2}}{c}=4$
解得：a=2，c=1，
∵a²=b²+c²
∴b=$\sqrt{3}$．
故得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）點P（4，$3\sqrt{3}$），A（-2，0），故得直線AP方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{2}（x+2）$，與橢圓方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$聯(lián)立，求解M的坐標(biāo)為（0，$\sqrt{3}$），
那么可得MN直線方程為y=1-3x，與橢圓方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$聯(lián)立，求解N的坐標(biāo)為（$\frac{8}{5}$，$-\frac{3\sqrt{3}}{5}$），
那么AN的斜率為k₁=$-\frac{\sqrt{3}}{6}$，BM的斜率k₂=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，則$\frac{k_1}{k_2}$=$\frac{1}{3}$．
（3）設(shè)斜率存在的MN的直線方程為y=k（x-1），利用設(shè)而不求的思想，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
與橢圓方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$聯(lián)立，可得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
那么：${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$…①，${x}_{2}{x}_{1}=\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$…②
由A，M的坐標(biāo)可得直線AM的方程為$y=\frac{{y}_{1}}{{y}_{1}+2}（x+2）$，
由B，N的坐標(biāo)可得直線BN的方程為$y=\frac{{y}_{2}}{{y}_{2}-2}（x-2）$，4
直線AM與直線BN聯(lián)立，可得：$x=2\frac{2{x}_{2}{x}_{1}-3{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}+3{x}_{2}-4}$，
∴$x=2\frac{2{{x}_{2}x}_{1}-3（{x}_{1}+{x}_{2}）+4{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}-4+2{x}_{2}}$…③，
將①②代入③
解得：x=4．
故點P在直線x=4上．
當(dāng)k不存在時，經(jīng)驗證，點P在直線x=4上滿足題意．

點評 本題考查了與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，橢圓與直線的關(guān)系的運用能力和計算能力，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，綜合能力強，計算量大，屬于難題，壓軸題．