Question

1．如圖（a）已知線段BD=4，A，C關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)，以BD為直徑作圓，經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，BA=2，延長(zhǎng)DA，CB交于點(diǎn)P，將△PAB沿AB折起，使點(diǎn)P至點(diǎn)Q位置，得到圖（b）所示空間圖形，其中Q在平面ABCD內(nèi)的射影恰為線段AD中點(diǎn)N，QD中點(diǎn)為M．
（1）求證：QD⊥平面ABM；
（2）求四棱錐M-ABCN體積．

Answer 1

分析 （1）證明QD⊥AM，QD⊥AB，利用線面垂直的判定定理，即可證明QD⊥平面ABM；
（2）由（1）可得四邊形ABCN是直角梯形，AB=2，CN=3，AN=$\sqrt{3}$，求出面積，再求出M到平面ABCN的距離，即可求四棱錐M-ABCN體積．

解答 （1）證明：如圖（a）BD=4，A，C關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)，以BD為直徑作圓，經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，BA=2，
∴△PAB≌△DAB≌△DCB，AB⊥AD
∴圖（b）中，QA=AD，
∵QD中點(diǎn)為M，
∴QD⊥AM，
∵Q在平面ABCD內(nèi)的射影恰為線段AD中點(diǎn)N，
∴平面QAD⊥平面ABCD，
∵平面QAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD
∴AB⊥平面QAD，
∵QD?平面QAD，
∴QD⊥AB，
∵AB∩AM=A，
∴QD⊥平面ABM；
（2）解：∵Q在平面ABCD內(nèi)的射影恰為線段AD中點(diǎn)N，
∴QA=QD，
∵QA=AD，
∴△QAD是等邊三角形，
∴QN=$\frac{\sqrt{3}}{2}AD$=3，
∴M到平面ABCN的距離為$\frac{3}{2}$．
由（1）可得四邊形ABCN是直角梯形，AB=2，CN=3，AN=$\sqrt{3}$，∴S_ABCN=$\frac{2+3}{2}×\sqrt{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴V=$\frac{1}{3}×\frac{5\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定，考查四棱錐M-ABCN體積，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．