Question

9．已知三棱柱ABC-A′B′C′中，平面BCC′B′⊥底面ABC，BB′⊥AC，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AA′=3，E、F分別在棱AA′，CC′上，且AE=C′F=2．
（1）求證：BB′⊥底面ABC；
（2）在棱A′B′上是否存在一點(diǎn)M，使得C′M∥平面BEF，若存在，求$\frac{{{A^/}M}}{{M{B^/}}}$值，若不存在，說(shuō)明理由；
（3）求棱錐A′-BEF的體積．

Answer 1

分析 （1）取BC中點(diǎn)O，先證AO⊥BC，再由面面垂直的性質(zhì)定理證得AO⊥面BCC'B'，再由線面垂直的判定定理即可得證；
（2）顯然M不是A′，B′，棱A′B′上若存在一點(diǎn)M，使得C′M∥平面BEF，可通過(guò)線面平行的判斷定理，即可證得；
（3）利用等體積轉(zhuǎn)化，即可求棱錐A′-BEF的體積．

解答 （1）證明：取BC中點(diǎn)O，連接AO，因?yàn)槿�角形ABC是等邊三角形，所以AO⊥BC，
又因?yàn)槠矫鍮CC′B′⊥底面ABC，AO?平面ABC，平面BCC′B′∩平面ABC=BC，
所以AO⊥平面BCC′B′，
又BB′?平面BCC′B，所以AO⊥BB′．
又BB′⊥AC，AO∩AC=A，AO?平面ABC，AC?平面ABC．
所以BB′⊥底面ABC．…（4分）
（2）解：顯然M不是A′，B′，棱A′B′上若存在一點(diǎn)M，使得C′M∥平面BEF，
過(guò)M作MN∥AA′交BE于N，連接FN，MC′，所以MN∥CF，即C′M和FN共面，
所以C′M∥FN，
所以四邊形C′MNF為平行四邊形，所以MN=2，
所以MN是梯形A′B′BE的中位線，M為A′B′的中點(diǎn)．即$\frac{{{A^/}M}}{{M{B^/}}}=1$…（8分）
（3）解：${V_{{A^/}-BEF}}={V_{B-{A^/}EF}}=\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×1×2）×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行和垂直的判定和性質(zhì)，面面垂直的性質(zhì)定理，以及三棱錐體積的計(jì)算，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．