Question

已知直三棱柱ABC--A₁B₁C₁中，AB=4，AC=AA₁=2，∠ACB=90°．
（1）求證：A₁C⊥B₁C₁．
（2）求點(diǎn)B₁到平面A₁BC的距離．
（3）求二面角C₁-A₁B-C的余弦大小．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì),點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得B₁C₁⊥A₁C，B₁C₁⊥A₁C₁，由此能證明A₁C⊥B₁C₁．
（2）以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角C₁-A₁B-C的余弦大小．

解答： （1）證明：∵直三棱柱ABC--A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴B₁C₁⊥A₁C，
∵∠ACB=90°，∴∠A₁C₁B₁=90°，∴B₁C₁⊥A₁C₁，
∵A₁C∩A₁C₁=A₁，
∴B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，
又A₁C?平面ACC₁A₁，∴A₁C⊥B₁C₁．
（2）解：以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
C（0，0，0），B（0，2

3

，0），A₁（2，0，2），B₁（0，2

3

，2），

CA1

=（2，0，2），

CB

=（0，2

3

，0），

CB1

=（0，2

3

，2），
設(shè)平面A₁BC的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • CA1 =2x+2z=0 n • CB =2 3 y=0

，取x=1，得

n

=（1，0，-1），
∴點(diǎn)B₁到平面A₁BC的距離d=

| CB1 • n |

| n |

=

|-2|

2

=

2

．
（3）解：C₁（0，0，2），

C1A1

=（2，0，0），

C1B

=（0，2

3

，-2），
設(shè)平面C₁A₁B的法向量

m

=（a，b，c），
則

m • C1A1 =2a=0 m • C1B =2 3 b-2c=0

，取b=1，得

m

=（0，1，

3

），
又平面A₁BC的法向量

n

=（1，0，-1），
設(shè)二面角C₁-A₁B-C的平面角為θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

- 3

2 2

|=

6

4

．
∴二面角C₁-A₁B-C的余弦大小為

6

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．