Question

已知橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，直線l₀：x=4，A是橢圓C的右頂點，點P（x₁，y₁）是橢圓上異于左，右頂點的一個動點，直線PA與l₀交于點M₁，直線l過點P且與橢圓交于另一點B（x₂，y₂），與l₀交于點M₂，
（1）若直線l經(jīng)過橢圓的左焦點F，且使得

AP

•

AB

=3，求直線l的方程；
（2）若點B恰為橢圓的左頂點，同x軸上是否存在定點D，使得變化的點P，以M₁M₂為直徑的圓總經(jīng)過點D，若存在，求這樣的圓面積的最小值；若不存在；請說明理由．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設PB方程為y=k（x+1）（k≠0）代入橢圓方程，得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，由此利用韋達定理結(jié)合已知條件，結(jié)合向量的數(shù)量積坐標表示表示，能求出直線l的方程；
（2）假設存在x軸上定點D，使得以M₁M₂為直徑的圓恒過點D，設出D的坐標，求出AP和PB的方程，取x=4得到
M₁，M₂的坐標，寫出向量

DM1

和

DM2

的坐標，由數(shù)量積等于0列式求出D的坐標．

解答： （1）解：由于直線PB的斜率存在，設PB方程為y=k（x+1）（k≠0）
代入橢圓的方程

x2

4

+

y2

3

=1，得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
由P（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
得x₁+x₂=-

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

，
y₁y₂=k²（x₁+1）（x₂+1）=k²（x₁x₂+x₁+x₂+1）=

-9k2

3+4k2

，

AP

•

AB

=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+y₁y₂
=

27k2

3+4k2

=3，
解得，k=±

15

5

，
故直線l的方程為y=±

15

5

（x+1）；
（2）假設存在x軸上定點D，使得以M₁M₂為直徑的圓恒過點D．
設P（x₁，y₁），D（m，0），
則

x12

4

+

y12

3

=1，得12y₁²=36-9x₁²．k_AP=

y1

x1-2

，k_BP=

y1

x1+2

，
橢圓右準線為x=4．
所以AP方程為：y=

y1

x1-2

（x-2），則M₁（4，

2y1

x1-2

），
PB方程為：y=

y1

x1+2

（x+2），則M₂（4，

6y1

x1+2

）．
則

DM1

=（4-m，

2y1

x1-2

），

DM2

=（4-m，

6y1

x1+2

）．
由以M₁M₂為直徑的圓總經(jīng)過點D，得

DM1

•

DM2

=0，
即有（4-m）²+

12y12

x12-4

=0，
即（4-m）²=9，解得m=1或m=7．
所以存在x軸上定點D（1，0）或（7，0），使得以M₁M₂為直徑的圓恒過點D．

點評：本題考查了橢圓的標準方程和性質(zhì)，考查了直線和橢圓的位置關系，訓練了平面向量的數(shù)量積判斷兩個向量的垂直，考查了學生的計算能力，是有一定難度題目．