Question

20．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²+（2-a）x．
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，g（x）=x²-2x+b，當(dāng)$x∈[{\frac{1}{2}，2}]$時(shí)，f（x）與g（x）有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為$a≥\frac{1}{x}$在[1，+∞）上恒成立，求出a的范圍即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為b=lnx-2x²+3x，令 T（x）=lnx-2x²+3x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出b的范圍即可．

解答 解（1）∵f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴f'（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，
∴$f'（x）=\frac{1}{x}-2ax+2-a$=$-\frac{（2x+1）（ax-1）}{x}≤0$在[1，+∞）上恒成立，
∴$a≥\frac{1}{x}$在[1，+∞）上恒成立∵${（{\frac{1}{x}}）_{max}}=1$，
∴a≥1；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx-x²+x，
∵f（x）與g（x）有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴l(xiāng)nx-x²+x=x²-2x+b在$[{\frac{1}{2}，2}]$上有兩個(gè)根，
∴b=lnx-2x²+3x，
∴令 T（x）=lnx-2x²+3x，
∴${T}'（x）=\frac{1}{x}-4x+3=-\frac{{（{4x+1}）（{x-1}）}}{x}$，
∴T'（x）＞0時(shí)，$\frac{1}{2}＜x＜1$，
∴T（x）在$（{\frac{1}{2}，1}）$上單調(diào)遞增，
∴T'（x）＜0時(shí)，1＜x＜2，
∴T（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，
∴x=1處有極大值也是最大值，
T（1）=1$T（{\frac{1}{2}}）=1-ln2＞0$，
T（2）=ln2-2＜0，
∴1-ln2≤b＜1．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．