Question

5．已知復數(shù)z滿足z=（-1+3i）（1-i）-4．
（1）求復數(shù)z的共軛復數(shù)；
（2）若ω=z+ai，且復數(shù)ω對應向量的模不大于復數(shù)z所對應向量的模，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)復數(shù)的代數(shù)形式的運算法則，求出復數(shù)z，再求z的共軛復數(shù)；
（2）求出復數(shù)ω、z對應的向量$\overrightarrow{ω}$、$\overrightarrow{z}$，利用|ω|≤|$\overrightarrow{z}$|列出不等式求出a的取值范圍．

解答 解：（1）復數(shù)z=（-1+3i）（1-i）-4=-1+i+3i+3-4=-2+4i，
∴復數(shù)z的共軛復數(shù)為$\overline{z}$=-2-4i；
（2）∵ω=z+ai=-2+（4+a）i，
∴復數(shù)ω對應向量為$\overrightarrow{ω}$=（-2，4+a）；
此時|$\overrightarrow{ω}$|=$\sqrt{4{+（4+a）}^{2}}$=$\sqrt{20+8a{+a}^{2}}$，
又∵復數(shù)z對應的向量$\overrightarrow{z}$=（-2，4），
∴|$\overrightarrow{z}$|=2$\sqrt{5}$；
∴|ω|≤|$\overrightarrow{z}$|，
∴$\sqrt{20+8a{+a}^{2}}$≤2$\sqrt{5}$，
即a（a+8）≤0，
解得實數(shù)a的取值范圍是-8≤a≤0．

點評 本題考查了復數(shù)的代數(shù)運算與平面向量以及不等式的應用問題，是綜合題．