Question

7．已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²-9a²x+a³．
（1）設a=1，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若$\frac{1}{4}$＜a≤1，且當x∈[1，4a]時，|f′（x）|≤12a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把a=1代入，找出導函數(shù)為0的自變量，看在自變量左右兩側導函數(shù)的符號來求極值即可；
（2）轉化為求導函數(shù)的絕對值在x∈[1，4a]上的最大值即可．

解答 解：（1）當a=1時，對函數(shù)f（x）求導數(shù)，得f′（x）=3x²-6x-9．
令f′（x）=0，解得x₁=-1，x₂=3．
列表討論f（x），f′（x）的變化情況：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值6	↓	極小值-26	↑

所以，f（x）的極大值是f（-1）=6，極小值是f（3）=-26．
（2）f′（x）=3x²-6ax-9a²的圖象是一條開口向上的拋物線，關于x=a對稱．
若$\frac{1}{4}$＜a≤1，則f′（x）在[1，4a]上是增函數(shù)，
從而（x）在[1，4a]上的最小值是f′（1）=3-6a-9a²，最大值是f′（4a）=15a²．
由|f′（x）|≤12a，得-12a≤3x²-6ax-9a²≤12a，
于是有（1）=3-6a-9a²≥-12a，且f′（4a）=15a²≤12a．
由f′（1）≥-12a得-$\frac{1}{3}$≤a≤1，由f′（4a）≤12a得0≤a≤$\frac{4}{5}$．
所以a∈（$\frac{1}{4}$，1]∩[-$\frac{1}{3}$，1]∩[0，$\frac{4}{5}$]，即a∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{4}{5}$]．

點評 本題涉及到利用導函數(shù)求極值．利用導函數(shù)求極值時，須先求導函數(shù)為0的根，再根據(jù)導函數(shù)為0的根左右兩側的符號來求極大值和極小值．