Question

18．已知z是復(fù)數(shù)，z+2i、$\frac{z}{2-i}$均為實(shí)數(shù)（i為虛數(shù)單位），且復(fù)數(shù)（z+a•i）²在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|2＜a＜6}．

Answer 1

分析 設(shè)z=m+ni，由Z+2i=m+ni+2i是實(shí)數(shù)，求得n=-2，$\frac{z}{2-i}$=$\frac{（2m+2）+（m-4）i}{5}$為實(shí)數(shù)，求得m=4，故z=4-2i．所以（z+ai）²=（12-a²+4a）+（8a-16）i，再由復(fù)數(shù)（z+ai）²在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)z=m+ni
∵Z+2i=m+ni+2i是實(shí)數(shù)，
∴n=-2，$\frac{z}{2-i}$=$\frac{（2m+2）+（m-4）i}{5}$為實(shí)數(shù)，
∴m=4，
∴z=4-2i，
∴（z+ai）²=（4-2i+ai）²=16+8（a-2）i+（a-2）²i²=（12-a²+4a）+（8a-16）i，
∵復(fù)數(shù)（z+ai）²在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{12{-a}^{2}+4a＞0}\\{8a-16＞0}\end{array}\right.$，解得：2＜a＜6，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|2＜a＜6}，
故答案為：{a|2＜a＜6}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意復(fù)數(shù)的幾何意義的靈活運(yùn)用．