Question

（1）分析證明函數(shù)f（x）=lg

1-x

1+x

的奇偶性；
（2）寫出f（x）=-x²+2x的減函數(shù)區(qū)間，并證明y=f（x）在它上是減函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）=lg

1-x

1+x

的奇偶性；
（2）寫出f（x）=-x²+2x的減函數(shù)區(qū)間，并證明y=f（x）在它上是減函數(shù)．

解答： 解：（1）要使函數(shù)f（x）有意義，由

1-x

1+x

＞0得-1＜x＜1，
f（-x）=lg

1+x

1-x

=lg（

1-x

1+x

）^-1=-lg

1-x

1+x

=-f（x），
則f（x）是奇函數(shù)．
（2）f（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1，則函數(shù)的減函數(shù)區(qū)間為[1，+∞），
證明：設(shè)任意的x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=-x₁²+2x₁-（-x₂²+2x₂）=（x₂-x₁）（x₁+x₂+2），
∵1≤x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁+x₂+2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
故函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，根據(jù)相應(yīng)的定義是解決本題的關(guān)鍵．