Question

已知點(diǎn)A（-1，0），B（0，1），點(diǎn)P（x，y）為直線y=x-1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求證：∠APB恒為銳角；
（2）若|

.

PA

|=|

.

PB

|，求向量

PB

+

PA

的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)出P的坐標(biāo)，求出向量PA，PB的坐標(biāo)，運(yùn)用向量為銳角的條件，計(jì)算數(shù)量積，即可得證；
（2）運(yùn)用向量模的公式，計(jì)算求出x，再由向量的加減坐標(biāo)運(yùn)算即可得到．

解答： （1）證明：點(diǎn)P（x，y）在直線y=x-1上，即點(diǎn)P（x，x-1），
即

PA

=(-1-x，1-x)，

PB

=(-x，2-x)，
即有

PA

•

PB

=2x2-2x+2=2(x2-x+1)=2[(x-

1

2

)2+

3

4

]＞0，
則cos＜

PA

，

PB

＞=

PA • PB

| PA || PB |

＞0，
若A，P，B三點(diǎn)在一條直線上，則

PA

∥

PB

，
得到（x+1）（x-2）-（x-1）x=0，方程無解，則∠APB≠0，
則有∠APB恒為銳角．
（2）解：由|AP|=|BP|，
即|

AP

|=|

BP

|，即

(x+1)2+(x-1)2

=

x2+(x-2)2

，
化簡(jiǎn)得到2x-1=0，即x=

1

2

，
則P(

1

2

，-

1

2

)，

PB

+

PA

=(-

3

2

，

1

2

)+(-

1

2

，

3

2

)=(-2，2)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的共線的坐標(biāo)表示，以及向量的夾角為銳角的條件，考查向量模的公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．