Question

【題目】已知f（x）=（ax2+ax+x+a）e﹣x（a≤0）．
（1）討論y=f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a=0時，若f（x1）=f（x2） （x1≠x2），求證x1+x2＞2．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得：x∈R，f′（x）= ，

若a=0，當(dāng)x＜1時，f′（x）＞0，當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0，

∴f（x）在（﹣∞，1）遞增，在（1，+∞）遞減，

若﹣1＜a＜0時，﹣ ＞1，

∴f（x）在（﹣∞，1）與（﹣ ，+∞）遞增，在（1，﹣ ）遞減，

若a=﹣1，f′（x）≤0，∴f（x）在R遞減，

若a＜﹣1，時，則﹣ ＜1，

∴f（x）在（﹣∞，﹣ ）與（1，+∞）遞增，在（﹣ ，1）遞減，

綜上：若a=0，f（x）在（﹣∞，1）遞增，在（1，+∞）遞減，

﹣1＜a＜0時，f（x）在（﹣∞，1）與（﹣ ，+∞）遞增，在（1，﹣ ）遞減，

a=﹣1時，f′（x）≤0，∴f（x）在R遞減，

a＜﹣1時，f（x）在（﹣∞，﹣ ）與（1，+∞）遞增，在（﹣ ，1）遞減

（2）證明： a=0時，f（x）=xe﹣x，∴f′（x）=（1﹣x）e﹣x，

∴f（x）在（﹣∞，1）遞增，在（1，+∞）遞減，

∵f（x1）=f（x2），（x1≠x2），

則不妨設(shè)x1＜1＜x2，∴2﹣x2＜1，

要證x1+x2＞2，只需證明 x1＞2﹣x2，

由f（x）在（﹣∞，1）遞增，

即證f（x2）＞f（2﹣x2），即證 ＜ ，

即證x2＞（2﹣x2） ，

令g（t）=t﹣（2﹣t）e2t﹣2（t＞1），

g′（t）=1+（2t﹣3）e2t﹣2，

g″（t）=（4t﹣4）e2t﹣2＞0，

∴g′（t）在（1，+∞）遞增，g′（t）＞g′（1）=0，

∴g（t）在（1，+∞）遞增，g（t）＞g（1）=0，

∴g（t）在（1，+∞）上恒大于0，

即x2＞（2﹣x2） ，

即x1+x2＞2

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）不妨設(shè)x1＜1＜x2 ， 得到2﹣x2＜1，問題轉(zhuǎn)化為證x2＞（2﹣x2） ，令g（t）=t﹣（2﹣t）e2t﹣2（t＞1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．