Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$，其中$\overrightarrow{a}$=（2cosx，$\sqrt{3}$sin2x），$\overrightarrow$=（cosx，1），x∈R
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間：
（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，f（A）=2，a=$\sqrt{7}$且sinB=2sinC，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，由此能求出函數(shù)y=f（x）的最小正周期和函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（2）由f（A）=2，求出A=$\frac{π}{3}$，由$a=\sqrt{7}$，利用余弦定理得b=2c．由此能求出△ABC的面積．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（2cosx，$\sqrt{3}$sin2x），$\overrightarrow$=（cosx，1），x∈R，
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=$2co{s}^{2}x+\sqrt{3}sin2x$
=$\sqrt{3}sin2x+cos2x+1$=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴函數(shù)y=f（x）的最小正周期為T=π，
單調(diào)遞增區(qū)間滿足-$\frac{π}{2}$+2kπ$≤2x+\frac{π}{6}≤$$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z．
解得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z．
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z．
（2）∵f（A）=2，∴2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=2，即sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
又∵0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{3}$，
∵$a=\sqrt{7}$，由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc=7，①
∵sinB=2sinC，∴b=2c．②
由①②得c²=$\frac{7}{3}$，∴${S}_{△ABC}=\frac{7\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的最小正周期、單調(diào)遞增區(qū)間的求法，考查三角形面積的求法，考查同角三角函數(shù)、三角函數(shù)的最小正周期、三角函數(shù)的增區(qū)間、作弦定理等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．