Question

14．已知函數(shù)f（x）=x³-x²+1．
（I）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（II）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1），求出切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：（ I）f（x）=x³-x²+1，f′（x）=3x²-2x，
則f（1）=1，f′（1）=1，
則函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-1=x-1，
化簡(jiǎn)得：y=x；
（II）令f′（x）=3x²-2x=0，解得：x₁=0，x₂=$\frac{2}{3}$，
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，$\frac{2}{3}$）	$\frac{2}{3}$	（$\frac{2}{3}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	1	單調(diào)遞減	$\frac{23}{27}$	單調(diào)遞增

因此，當(dāng)x=0時(shí)，f（x）有極大值，并且極大值為f（0）=1；
當(dāng)x=$\frac{2}{3}$時(shí)，f（x）有極小值，并且極小值為f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{23}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．